historia de las derivadas

HISTORIA DE LAS DERIVADAS..







1) Sea una función y = f(x) y x₀ un punto del eje X. Si se toma un punto x₀ + h muy próximo a x₀ (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a cero, la recta secante (en rojo de la figura) que une los puntos

( x₀, f(x₀ ) ) y ( x₀ + h, f(x₀ + h) ), tiende a confundirse con la tangente (en azul de la figura) a la curva en el punto (x₀,f(x₀ )).

que determina la tangente con ese mismo eje, en el triángulo rectángulo de vértices

2) Históricamente el concepto de derivada es debido a Newton y a Leibnitz. Sus definiciones surgen a raíz del concepto de limite.

3) Definiciones de Derivada:

Definición: Pendiente de una curva. La pendiente del gráfico de la función f en el punto

(x , f(x) ) es la derivada de f en x.

Definición: Tangente a una curva. La recta tangente al grafico de la función f en el punto

P = (x , f(x) ) es la recta que pasa por P con pendiente igual a la derivada de f en x.


4) Velocidad de una partícula que se mueve sobre una línea recta. La velocidad en el instante t de un objeto, cuya posición sobre una recta viene dada por f(t) en el instante t, es la derivada de f en el punto t. El valor absoluto de la velocidad es el módulo de esa cantidad.


5) mplificación de una proyección entre rectas. La amplificación en x de una lente que proyecta el punto x de una recta sobre el punto f(x) de otra recta es la derivada de f en x.


6) Densidad de un material. La densidad de x de un material distribuido a lo largo de una recta de forma tal que los x centímetros de la izquierda tengan una masa de f(x) gramos es igual a la derivada de f en x.


7)

Una forma clásica de construir el concepto de derivada es la segunda definición, la de recta tangente a una curva, podríamos iniciar por tomar una línea que corta a la gráfica de la función en mas de un punto, como se muestra a continuación:

8) El concepto de derivada está unido directamente al de límite .

Para comenzar debemos recordar cual es la ecuación de una recta en función de dos puntos conocidos (a, b) y (a',b') :

El segundo término de la ecuación es lo que se llama pendiente de la recta , y nos da la inclinación o pendiente que tiene la recta respecto a la horizontal .


9) Leibniz llegó a este símbolo a través de su noción intuitiva de la derivada, que él consideraba no como el límite de los cocientes (f (a+h)-f (a))/h, sino como el 'valor' de este cociente cuando h es un número 'infinitamente pequeño'. Esta cantidad 'infinitamente pequeña' fue designada por dx y la correspondiente diferencia 'infinitamente pequeña' f (x+dx)-f (x) por df (x). Aunque es imposible reconciliar este punto de vista con las propiedades de los números reales, algunos encuentran simpática esta noción de la derivada.


10) La derivada de una función en un punto "a" surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa "a", y fue Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales.