ejercicios de derivadas.

EJERCICIOS DE DERIVADAS....

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historia de las derivadas

HISTORIA DE LAS DERIVADAS..







1) Sea una función y = f(x) y x₀ un punto del eje X. Si se toma un punto x₀ + h muy próximo a x₀ (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a cero, la recta secante (en rojo de la figura) que une los puntos

( x₀, f(x₀ ) ) y ( x₀ + h, f(x₀ + h) ), tiende a confundirse con la tangente (en azul de la figura) a la curva en el punto (x₀,f(x₀ )).

que determina la tangente con ese mismo eje, en el triángulo rectángulo de vértices

2) Históricamente el concepto de derivada es debido a Newton y a Leibnitz. Sus definiciones surgen a raíz del concepto de limite.

3) Definiciones de Derivada:

Definición: Pendiente de una curva. La pendiente del gráfico de la función f en el punto

(x , f(x) ) es la derivada de f en x.

Definición: Tangente a una curva. La recta tangente al grafico de la función f en el punto

P = (x , f(x) ) es la recta que pasa por P con pendiente igual a la derivada de f en x.


4) Velocidad de una partícula que se mueve sobre una línea recta. La velocidad en el instante t de un objeto, cuya posición sobre una recta viene dada por f(t) en el instante t, es la derivada de f en el punto t. El valor absoluto de la velocidad es el módulo de esa cantidad.


5) mplificación de una proyección entre rectas. La amplificación en x de una lente que proyecta el punto x de una recta sobre el punto f(x) de otra recta es la derivada de f en x.


6) Densidad de un material. La densidad de x de un material distribuido a lo largo de una recta de forma tal que los x centímetros de la izquierda tengan una masa de f(x) gramos es igual a la derivada de f en x.


7)

Una forma clásica de construir el concepto de derivada es la segunda definición, la de recta tangente a una curva, podríamos iniciar por tomar una línea que corta a la gráfica de la función en mas de un punto, como se muestra a continuación:

8) El concepto de derivada está unido directamente al de límite .

Para comenzar debemos recordar cual es la ecuación de una recta en función de dos puntos conocidos (a, b) y (a',b') :

El segundo término de la ecuación es lo que se llama pendiente de la recta , y nos da la inclinación o pendiente que tiene la recta respecto a la horizontal .


9) Leibniz llegó a este símbolo a través de su noción intuitiva de la derivada, que él consideraba no como el límite de los cocientes (f (a+h)-f (a))/h, sino como el 'valor' de este cociente cuando h es un número 'infinitamente pequeño'. Esta cantidad 'infinitamente pequeña' fue designada por dx y la correspondiente diferencia 'infinitamente pequeña' f (x+dx)-f (x) por df (x). Aunque es imposible reconciliar este punto de vista con las propiedades de los números reales, algunos encuentran simpática esta noción de la derivada.


10) La derivada de una función en un punto "a" surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa "a", y fue Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales.

COMENTARIOS HISTORIA DE LA MATEMATICA.

HISTORIA DE LAS MATEMATICAS...







1) Desde las Antiguas civilizaciones de Egipto y Mesopotamia, hasta el siglo XX, se exponen los hechos más relevantes que contribuyeron a la formación de este Ciencia. Pulsando sobre el logotipo accederás a la página en la que se encuentra el contenido, estructurado en cuatro grandes bloques o periodos históricos. Si accedes desde el glosario tendrás también a tu disposición un análisis de las principales ramas: álgebra, geometría, análisis matemático y cálculo diferencial.



2) Desde su origen, las matemáticas han tenido la misión de profundizar en los conceptos de número, espacio, expresión analítica, etc. A lo largo de la historia, esta ciencia se ha utilizado para dar solución a necesidades sociales, económicas, políticas e incluso, religiosas.

3) Las ruedas, las palancas, las balanzas, etc., encontraron en las matemáticas su concepción abstracta. Y, por su parte, los términos y conceptos matemáticos encontraron en la realidad su aplicación práctica. Así pues, el mundo de la abstracción y el de la materialización encontraron su puente en esta ciencia de origen remoto.

4) El origen de las matemáticas va unido al antiguo Egipto, una de las civilizaciones más sabias de la historia. En su haber se hayan múltiples saberes concebidos como una mezcla de ciencia y magia. La espiritualidad, la religiosidad y el misticismo que dominaban todos los aspectos de la vida del pueblo egipcio, determinaron los primeros pasos de esta ciencia.

5) Con la llegada de la edad moderna, las matemáticas pasaron a convertirse en una ciencia cuantitativa y secular. Se alejó de su misticismo original para satisfacer las necesidades de una nueva sociedad, interesada en el crecimiento del comercio, en el desarrollo de la incipiente industria, en la creación de nuevas técnicas de producción, comunicación y transporte, en el uso del dinero, etc.

6) Los primeros testimonios materiales de la existencia del pensamiento matemático son ciertos dibujos y símbolos trazados sobre ladrillos o tabletas sirias y babilónicas, entre los siglos XXX y XX antes de nuestra era. Su contenido ha sido la fuente principal del conocimiento de sus matemáticas en la antigüedad. A partir de éstos primeros testimonios matemáticos se ha podido deducir, por ejemplo, la existencia de un sistema de numeración de base 60 y algunas operaciones aritméticas, además de datos astronómicos y construcciones geométricas. Se emplea un calendario lunar avanzado y se introducen unidades de tiempo como el minuto y la hora.

7) Más o menos por la misma época, anterior al primer milenio antes de Cristo, aparecieron en Egipto los primeros documentos matemáticos, en este caso escritos sobre papiros. El papiro Rhind, cuyo autor fue el escriba Ahmes, recopila toda una colección de problemas y reglas «para escudriñar la naturaleza y llegar a conocer todo lo que existe y todo misterio y todo secreto». Este encabezamiento prueba el poder que se atribuía a las matemáticas para resolver problemas y desvelar misterios, todo ello circunscrito a un ambiente de ciencia y magia. Este papiro incluye problemas de diferentes tipos, alguno de los cuales continua abierto hoy en día. También se encuentran en él nociones de áreas y de volúmenes elementales, algunos de carácter eminentemente práctico. Otros problemas son de carácter puramente teórico. Es importante señalar este aspecto para resaltar que, desde antiguo, la curiosidad por la resolución de problemas de ingenio ha sido un factor que ha contribuido a la creación matemática, tanto o más que las aplicaciones prácticas.

8) De la información contenida en los documentos hallados se ha podido deducir que los antiguos egipcios conocían la propiedad de cómo los números 3, 4 y 5, y sus múltiplos, son lados de un triángulo rectángulo, y a partir del estudio de las pirámides y del calendario, así como de otros datos astronómicos, se ha descubierto que atribuían al número Pi un valor aproximado bastante exacto.

9) En resumen, todo parece indicar que las matemáticas babilónica y egipcia, de antes del primer milenio anterior a nuestra era, eran matemáticas empíricas, usadas como herramienta no sólo para el comercio y para la construcción, sino también para proponer y resolver problemas ingeniosos como los que hoy se plantean en la llamada «matemática recreativa». Sin embargo no hay constancia de que existiese el razonamiento matemático en el sentido actual de ciencia deductivo, con conceptos abstractos y generales. A pesar de lo cual no cabe duda de que sus conocimientos matemáticos, empíricos o razonados, fueron el germen del florecimiento matemático griego alrededor del siglo vii antes de Cristo.

10) Las matemáticas están en el centro de nuestra cultura y su historia se confunde, a menudo, con la de la filosofía. De igual modo que las teorías cosmológicas y de la evolución han ejercido notable influencia en la concepción que los humanos tenemos de nosotros mismos, las geometrías no euclídeas han permitido nuevas ideas sobre el universo y los teoremas de la lógica matemática han puesto de manifiesto las limitaciones del método deductivo

COMENTARIOS EXTINTORES

EXTINTORES...


COMENTARIOS.



1) El extintor es un aparato portable que contiene un agente extinguidor y un agente expulsor que al ser accionado y dirigiendo la boquilla a la base del incendio (llama), permite extinguirlo.


2) Los extintores portátiles se clasifican según su peso en:

Manuales: son aquellos que pueden ser utilizados por el operador llevándolo suspendido de la mano; su peso total no excede de los 25 Kg. (agente extinguidor +cilindro y accesorios). Este representa el medio más sencillo a utilizar en el combate de incendio, en su etapa inicial.

Extintores sobre ruedas: son aquellos que su peso total es mayor a 25 Kg. (agente extinguidor + agente expulsor + manguera + cilindro y estructura). Está dotado con dos ruedas para su desplazamiento.

3) Extintor de dióxido de carbono (CO2): utilizado para extinción de incendios de equipos eléctricos energizados, como computadoras, cafeteras, interruptores, cajas de fusibles y herramientas eléctricas (taladros, etc.) y sustancias de combustión rápida (gasoil) en espacios confinados.

4) Extintor de polvo químico seco: AB, ABC, utilizado en el combate de incendios, provenientes de materiales combustibles, tales como: madera, papel, cartón, cauchos, plásticos termoestables y sustancias de combustión rápida (gasoil) en espacios al aire libre.

5) Los extintores portátiles deben ser ubicados en:

Lugares estratégicos, con el fin de no poner en riesgo al operador al momento de su uso.

En lugares visibles y de fácil acceso.

A una altura mínima sobre el piso de 10 cm. y máximo 1,3 m.

En las rutas de escape o las salidas.

6) Mantenimiento y recarga de los extintores portátiles:

Los extintores se deben inspeccionar al instalarse.

Los extintores deben revisarse como mínimo una o dos veces al año.

Los extintores deben recargarse cuando su peso sea menor y funcionamiento lo requiera, según norma y siempre que se haya activado (usado).

7) Mantenga el área de trabajo en buenas condiciones de orden y limpieza.

Verifique periódicamente el estado de operatividad de los extintores, su ubicación, señalización y que no estén obstaculizados.

Inspeccione los dispositivos de protección contra incendios: estaciones manuales, detectores de humo. Reporte a la Gerencia de Riesgos Laborales y Ambientales sobre cualquier situación insegura.

Verifique las condiciones de los interruptores y tomacorrientes de su área de trabajo.

No sobrecargue los tomacorrientes, ni conecte varios aparatos a un mismo tomacorriente o extensión.

8) 1. Ubique el extintor más cercano, bájelo y colóquelo en el piso, en posición vertical.

2. Rompa el precinto y retire el pasador de seguridad.

3. Retire la manguera y pruebe el equipo cerca del área del incendio.

4. Diríjase al lugar del incendio y colóquese a una distancia prudencial (2 metros).

5. Presione la manilla para descargar el agente extintor e inicie la extinción del incendio.

6. Combata el incendio en la misma dirección del viento, de espalda a la salida del lugar.

7. Dirija la boquilla o manguera del extintor a la base del incendio, con movimientos de lado a lado, en forma de abanico.

8. Una vez extinguido el incendio, retírese de frente (al lugar del incendio), nunca de espalda.

9. Notifique telefónicamente al Especialista de Riesgos Laborales y Ambientales regional y espere su visita.

9) Cuando no conoce las normas de seguridad para combatir incendio.

Si usted para el momento del incendio no está anímicamente bien.

Si desconoce el área donde se originó el incendio (materiales existentes y salidas).

Si el incendio se está esparciendo más allá del lugar donde empezó.

Si usted no puede combatirlo de frente, quedando de espalda a la salida de emergencia.

10) Los agentes extintores pueden ser de varias clases de acuerdo con el tipo de fuego que se requiera tratar:

1. Químico seco: conformado por partículas por lo general de bicarbonato de sodio, bicarbonato de potasio y fosfato de amonio, a los cuales se agregan suplementos que brinden resistencia a la humedad, al proceso de empaque y para proveer mayor fluidez.
2. Químico húmedo: conformado por soluciones salinas en agua.
3. Humectantes: soluciones jabonosas en agua que disminuyen la tensión superficial brindando poder de penetración y humectación.
4. Polvo seco: agentes sólidos creados para extinguir fuegos clase D principalmente, por encostramiento, sofocación o transferencia de calor.
5. Espumas formadoras de película: acuosas (AFFF) y fluoroproteínas (FFFP).
6. Halogenados: incluyen los Hidroclorofluorocarbonados (HCFC), Hidrofluorocarbonados (HFC), Perfluorocarbonados (PFC), Fluoroyodocarbonados (FIC) y los Halons como el bromoclorodifluorometano (1211), bromotrifluorometano (1301) y mezclas de ellos.
7. Gases: generalmente nitrógeno, aire comprimido, dióxido de carbono y otros gases que se envasan en cilindros de alta presión.

comentarios de los incendios

INCENDIOS...



1) Por descontado, la mejor manera de poner en práctica la seguridad contra incendios en su casa es asegurarse de que nunca llega a declararse un incendio. Esto significa que usted siempre debería ser consciente de los factores que podrían provocar un incendio en su vivienda. Empiece teniendo presentes los siguientes consejos.

2) Otros consejos:

• Sustituya o haga reparar por un profesional cualquier aparato que despida chispas, desprenda un olor inusual o se caliente exceso.
• Asegúrese de que ningún cable eléctrico pasa por debajo de una alfombra.
• Asegúrese de que no hay ninguna lámpara ni lamparilla de noche en contacto con colchas, cortinas u otro tipo de ropa.
• Tenga cuidado al utilizar mantas o esterillas eléctricas y no se duerma nunca con la manta encendida.

3) La cantidad de incendios que se declaran en las viviendas aumenta considerablemente durante los meses de más frío, registrándose las cifras máximas entre diciembre y febrero. Las estufas portátiles desempeñan un papel importante en este incremento. Antes de enchufar la estufa, asegúrese de que sabe cómo utilizarla de manera segura:

• Lea detenidamente las instrucciones de uso.
• Nunca coloque una estufa en lugares donde un niño o mascota podrían volcarla o derribarla accidentalmente.
• Nunca coloque una estufa demasiado cerca de una cama, especialmente de la cama de un niño.

4)La cocina presenta innumerables oportunidades para que se inicie un incendio: dejar la comida en el horno, el fuego o el microondas sin controlarla, derrames accidentales de aceites o grasas, colgar un paño de cocina demasiado cerca de un fogón encendido, la chispa de una tostadora, una cafetera olvidada sobre un fogón encendido, etc. Supervise siempre a su hijo cuando esté en la cocina o cuando haga sus pinitos como cocinero, y asegúrese de practicar hábitos de cocina seguros, como colocar el mango de las cacerolas hacia dentro en la encimera cuando cocine para evitar volcarlas accidentalmente y no llevar ropa demasiado holgada, que podría encenderse fácilmente al acercarla a algún fogón.


5) Las chimeneas deben estar limpias y tapadas con protectores o rejas finas para evitar que salten chispas dentro de la habitación. En la chimenea sólo se debe quemar leña; el papel y otros materiales inflamables pueden volar o salir despedidos fuera del hogar mientras se queman y prender fuego a los objetos próximos. Nunca deje el fuego desatendido, y asegúrese de que está completamente apagado antes de salir de casa o de irse a dormir. Haga limpiar la chimenea por un profesional una vez al año.

6) Lo ha oído miles de veces, pero jugar con cerillas sigue constituyendo la principal causa de muerte y lesiones relacionadas con el fuego entre los niños menores de 5 años. Mantenga siempre las cerillas y los encendedores fuera del alcance y de la vista de los niños. Guarde los materiales inflamables como la gasolina, el queroseno y los productos de limpieza inflamables fuera de la casa y lejos del alcance de los niños.

7) Desde que las velas decorativas se han puesto de moda, han aumentado los incendios originados por velas encendidas. Si enciende velas, manténgalas fuera del alcance de los niños y mascotas, colóquelas lejos de cortinas y muebles y apáguelas antes de irse a dormir. Asegúrese de colocar las velas en soportes firmes y estables que estén fabricados con materiales no inflamables. No permita que niños mayores ni adolescentes enciendan velas en sus habitaciones sin la supervisión de un adulto.

8) Durante las fiestas de Navidad hay que estar especialmente atento al riesgo de incendios. Si pone un árbol de Navidad natural en su vivienda, asegúrese de regarlo diariamente; las lucecitas eléctricas colgadas de un árbol seco pueden ser un peligro mortal. Todos los años se deben revisar las luces y los adornos luminosos que se colocan en las ventanas para asegurarse de que los cables no estén desgastados o pelados, y las velas deben utilizarse con cuidado. Según la NFPA, la cantidad de incendios provocados por velas se duplica durante el mes de diciembre.

9) Es necesario tener rutas de evacuación preestablecidas, especialmente por si se declarara un incendio durante la noche. Recorra todas las habitaciones de su casa y piense en las posibles salidas. Debería pensar en dos rutas de evacuación alternativas para cada habitación por si el fuego bloqueara el paso por una de ellas. Inspeccione cada habitación para cerciorarse de que no haya muebles u otros objetos bloqueando puertas o ventanas. Asegúrese de que las ventanas de todas las habitaciones se pueden abrir fácilmente desde dentro y que no están trabadas a consecuencia de sucesivas capas de pintura o clavos incorrectamente puestos; recuerde que ésta podría ser su única vía de escape en caso de incendio. Si vive en un bloque de apartamentos, verifique que las rejas o barras de seguridad de las ventanas se puedan abrir o retirar fácilmente en caso de emergencia. Asegúrese de conocer la ubicación de las escaleras o salidas de incendio más cercanas y adónde conducen.

10) Si su casa tiene más de un piso o si vive más arriba de la planta baja de un edificio de varios pisos o bloque de apartamentos, una escalera de incendios es una medida de seguridad importante. Debería disponer de una escalera de incendios fabricada con un material resistente al fuego (de aluminio, no de cuerda) en cada uno de los dormitorios de todos los pisos a partir del primero que estén ocupados por personas que están capacitadas para usarla. Al igual que los extintores de incendios, las escaleras de incendios sólo deben ser utilizadas por personas adultas. La escalera debe haber sido aprobada por un laboratorio independiente; su longitud debe ser la apropiada para su vivienda, y debe soportar el peso de la persona más pesada de la casa.